Teorema de Tales

El teorema de Tales se trata de dos teoremas que guardan estrecha relación con la geometría clásica, ambos teoremas fueron atribuidos a Tales de Mileto en el siglo VI a.C.

El primero de estos teoremas explica una forma de construir un triángulo semejante a uno que ya existe.

El segundo teorema abarca una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos, los cuales se encuentran en el punto medio de su hipotenusa, que a su vez en la construcción geométrica se utiliza frecuentemente para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos.

Todo esto quiere decir, que si dos rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas y correspondientes entre transversales, son directamente proporcionales.

Son muchas las aplicaciones del teorema de Tales, como la división de un segmento en partes iguales, la tercera y cuarta proporcional de dos segmentos dados, para el cálculo de razones simples, razones dobles, entre otras.

Todas las aplicaciones mencionadas de este teorema son de gran interés e importancia para la resolución de problemas matemáticos y para el estudio de las transformaciones, para que entiendas de qué se trata el teorema de Tales de Mileto, te lo explicaremos detalladamente a continuación.

 

Ejercicios del teorema de Tales

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Ejercicio 1

Las rectas A y B del dibujo son paralelas, comprueba utilizando el teorema de Tales si también lo es la recta C.

¿De qué forma se demuestra que la recta C es paralela?

Lo primero que se debe hacer es determinar que las rectas están en posición de Tales y que se cumple el teorema de Tales, comprobando si los segmentos de ambas rectas tienen la misma razón, y que entre ellas sean proporcionales. Calculamos la razón de los dos primeros segmentos.

1,5 / 2,4= 0,625

Y la razón de los dos siguientes segmentos:

2,5/4 = 0,625

Una vez comprobada que la razón es la misma, se puede determinar que ambos segmentos son proporcionales.

 

Ejercicio 2

¿Cuánto mide el segmento X en este dibujo?

 

Tal cual como se muestra en la imagen, conocemos las medidas de los dos segmentos de r, pero falta saber cuánto mide uno de los segmentos de s, por lo que a ese segmento le llamamos x.

De acuerdo al teorema de Tales los segmentos que estén enfrentados tienen la misma razón, por lo que sus divisiones deben dar lo mismo y por lo tanto pueden igualarse.

De esta fórmula nos queda una ecuación de primer grado que debe despejarse (x) para resolver esta ecuación pasa cada uno de los denominadores de las fracciones, multiplicando al numerador del miembro contrario, procede a multiplicar en cruz.

Ahora se procede a despejar la x, ahora el 8 que está multiplicando a la x, pasa al segmento miembro dividiendo.

Lo siguiente es calcular el valor de x, obteniendo el siguiente resultado

De esta manera se comprueba que los pares de segmentos de este triángulo son proporcionales.

 

Teorema de Tales fórmula

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Debido al establecimiento de una relación de semejanza entre ambos triángulos en el teorema de Tales, se deduce la proporcionalidad entre sus lados; esto quiere decir, que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro. Entonces para el primer teorema de Tales se deduce que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande, que se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

Esta fórmula constituye la base de la geometría descriptiva, y demuestra la semejanza entre dos triángulos, pero no la constancia del cociente.

En cuanto al segundo teorema de Tales, este está enfocado en los triángulos rectángulos, ángulos inscritos y circunferencias, además, tiene el siguiente enunciado: “Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC y centro O, distinto de  y de C. entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo donde <ABC = 90°”. Por lo tanto, la fórmula de este segundo teorema es:

Luego se dividen ambos miembros de la ecuación anterior entre dos, y se obtiene:

De esta manera, queda demostrado el segundo teorema de Tales. Del segundo teorema también se dedujo que en todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la misma y que la circunferencia circunscrita a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.

Este teorema puede ser utilizado para trazar las tangentes a una circunferencia dada que pasen por un punto conocido y externo a la misma.

 

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